Объем правильной усеченной пирамиды — это количественная характеристика пространства, занимаемого этим многогранником. Правильная усеченная пирамида получается путем отсечения верхушки правильной пирамиды плоскостью, параллельной основанию. У такой фигуры два основания — нижнее (большее) и верхнее (меньшее), которые являются подобными правильными многоугольниками. Боковые грани представляют собой равные равнобокие трапеции.
Знание объема необходимо в различных практических задачах: от расчета вместимости емкостей и бункеров пирамидальной формы до определения объема земляных работ при строительстве котлованов с откосами. Например, если вы проектируете резервуар для сыпучих материалов в форме усеченной пирамиды, знание объема позволит точно рассчитать его вместимость. Онлайн калькулятор объема правильной усеченной пирамиды позволяет решать такие задачи мгновенно, без ручного применения сложных формул.
Калькулятор правильной усечённой пирамиды (3–8 сторон)
Калькуляторы объёма
- Объем куба
- Объем прямоугольного параллелепипеда
- Объем правильного тетраэдра
- Объем правильной четырехугольной пирамиды
- Объем правильной пирамиды (количество сторон от 3 до 8)
- Объем прямого кругового конуса
- Объем усеченного прямого кругового конуса
- Объем цилиндра
- Объем сферы и шара
Формулы для расчета объема правильной усеченной пирамиды
1. Основная формула объема через площади оснований и высоту
V = (h / 3) × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))
Где:
- V — объем усеченной пирамиды;
- h — высота усеченной пирамиды (расстояние между основаниями);
- S₁ — площадь нижнего основания;
- S₂ — площадь верхнего основания.
Это универсальная формула, справедливая для любой усеченной пирамиды независимо от формы основания.
Пример:
Пусть высота усеченной пирамиды равна 6 м, площадь нижнего основания равна 100 м², а площадь верхнего основания равна 36 м².
Сначала вычисляем произведение площадей:
S₁ × S₂ = 100 × 36 = 3600
Извлекаем корень:
√3600 = 60
Подставляем в формулу:
V = (6 / 3) × (100 + 36 + 60)
V = 2 × 196 = 392 м³
2. Формула через стороны оснований, высоту и количество сторон
Площадь правильного n-угольника выражается через сторону:
S = (n × a²) / (4 × tan(π / n))
Подставляя эти выражения в основную формулу объема, получаем:
V = (n × h) / (12 × tan(π / n)) × (a₁² + a₂² + a₁ × a₂)
Где:
- a₁ — сторона нижнего основания;
- a₂ — сторона верхнего основания;
- n — число сторон основания.
Пример:
Рассмотрим шестиугольную усеченную пирамиду (n = 6). Пусть a₁ = 12 см, a₂ = 8 см, высота h = 10 см.
Вычисляем значение тангенса:
tan(π / 6) = tan30° ≈ 0.5774
Подставляем в формулу:
V = (6 × 10) / (12 × 0.5774) × (12² + 8² + 12 × 8)
V = 60 / 6.9288 × (144 + 64 + 96)
V ≈ 8.66 × 304 ≈ 2632.6 см³
3. Частные случаи для популярных оснований
Квадратная усеченная пирамида (n = 4)
Так как tan(π / 4) = 1, формула упрощается:
V = (h / 3) × (a₁² + a₂² + a₁ × a₂)
Пример:
Стороны оснований: 10 м и 6 м, высота равна 5 м.
V = (5 / 3) × (100 + 36 + 60)
V = (5 / 3) × 196 = 980 / 3 ≈ 326.67 м³
Треугольная усеченная пирамида (n = 3)
Так как tan(π / 3) = √3, получаем:
V = (h / (4√3)) × (a₁² + a₂² + a₁ × a₂)
Пример:
Пусть a₁ = 15 см, a₂ = 10 см, h = 12 см.
√3 ≈ 1.732 → 4√3 ≈ 6.928
V = (12 / 6.928) × (225 + 100 + 150)
V ≈ 1.732 × 475 ≈ 822.7 см³
Шестиугольная усеченная пирамида (n = 6)
Так как tan(π / 6) = 1 / √3, формула принимает вид:
V = (h × √3 / 2) × (a₁² + a₂² + a₁ × a₂)
Пример:
Пусть a₁ = 8 см, a₂ = 5 см, h = 10 см.
√3 / 2 ≈ 0.866
V = 0.866 × 10 × (64 + 25 + 40)
V = 8.66 × 129 ≈ 1117.1 см³
4. Обратная формула — нахождение высоты
h = (3 × V) / (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))
Пример:
Пусть объем равен 400 м³, площади оснований равны 100 м² и 36 м².
h = (3 × 400) / (100 + 36 + 60)
h = 1200 / 196 ≈ 6.12 м
Единицы измерения объема
Все линейные размеры (стороны оснований и высота) должны быть заданы в одинаковых единицах длины. Объем всегда получается в кубических единицах.
Например, если длины заданы в метрах, объем будет выражен в кубических метрах. Если параметры заданы в сантиметрах — результат получится в кубических сантиметрах.