Калькулятор правильной усеченной пирамиды

Онлайн калькулятор правильной усеченной пирамиды автоматически вычисляет все основные параметры фигуры: объем, площади оснований, площадь боковой и полной поверхности, высоту и апофему. Инструмент использует различные комбинации известных параметров: количество сторон, длины сторон верхнего и нижнего оснований, высоту, апофему.

Калькулятор правильной усеченной пирамиды работает в двух направлениях: позволяет не только найти неизвестные величины по введенным данным, но и проверить согласованность всех параметров между собой. Это помогает глубже понять взаимосвязь между элементами фигуры: основаниями, высотой, апофемой и объемами.

Калькулятор правильной усечённой пирамиды (3–8 сторон)

Введите известные значения

Количество сторон n (3–8)

Сторона нижнего основания a₁

Сторона верхнего основания a₂

Высота усеченной пирамиды h

Апофема l

Площадь нижнего основания S₁

Площадь верхнего основания S₂

Боковая площадь Sб

Полная площадь Sп

Объём V

Также смотрите другие калькуляторы

Что такое правильная усеченная пирамида

Правильная усеченная пирамида — это часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и параллельным ему сечением, проведенным через пирамиду.
Иными словами, это многогранник, который получается, если у правильной пирамиды срезать верхушку плоскостью, параллельной основанию.
У такой фигуры два основания — нижнее (большее) и верхнее (меньшее), которые являются подобными правильными многоугольниками. Боковые грани представляют собой равные равнобокие трапеции.

Понимание свойств усеченной пирамиды необходимо в различных практических задачах: от расчета объема земляных сооружений (например, котлованов с откосами) до проектирования архитектурных элементов (купола, обелиски, опоры мостов). Калькулятор правильной усеченной пирамиды позволяет решать такие задачи мгновенно, без ручного применения сложных формул.

Формулы для расчета правильной усеченной пирамиды

1. Объем правильной усеченной пирамиды

V = (h / 3) × (S₁ + S₂ + √(S₁ × S₂))

Где h — высота усеченной пирамиды (расстояние между плоскостями оснований), S₁ — площадь нижнего основания, S₂ — площадь верхнего основания. Это универсальная формула объема для любой усеченной пирамиды.

Пример расчета: Правильная четырехугольная усеченная пирамида имеет высоту h = 6 м, площадь нижнего основания S₁ = 100 м², площадь верхнего основания S₂ = 36 м². Тогда объем составит: V = (6 / 3) × (100 + 36 + √(100 × 36)) = 2 × (136 + √3600) = 2 × (136 + 60) = 2 × 196 = 392 м³.

2. Площадь боковой поверхности

S_бок = n × (a₁ + a₂) / 2 × L

Где n — количество сторон, a₁ — сторона нижнего основания, a₂ — сторона верхнего основания, L — апофема (высота боковой грани-трапеции).

Пример: Для шестиугольной усеченной пирамиды (n=6) со сторонами a₁ = 8 см, a₂ = 5 см и апофемой L = 10 см, площадь боковой поверхности равна: S_бок = 6 × (8 + 5) / 2 × 10 = 6 × 13 / 2 × 10 = 6 × 6.5 × 10 = 39 × 10 = 390 см².

3. Полная площадь поверхности

S_полн = S₁ + S₂ + S_бок

Пример: Если нижнее основание S₁ = 100 м², верхнее основание S₂ = 36 м², а боковая поверхность S_бок = 260 м², то полная площадь поверхности составит: 100 + 36 + 260 = 396 м².

4. Площадь основания (правильного многоугольника)

S = (n × a²) / (4 × tan(π / n))

Эта формула применяется для вычисления площадей обоих оснований, если известны стороны a₁ и a₂ и количество сторон n.

Пример: Для пятиугольной пирамиды (n=5) со стороной a = 10 м. tan(36°) ≈ 0.7265. Тогда S = (5 × 100) / (4 × 0.7265) = 500 / 2.906 ≈ 172.05 м².

5. Связь высоты и апофемы

Апофема L, высота h и разность радиусов вписанных окружностей оснований связаны теоремой Пифагора:

L = √(h² + (r₁ − r₂)²)

где r₁ = a₁ / (2 × tan(π / n)) — радиус вписанной окружности нижнего основания, r₂ = a₂ / (2 × tan(π / n)) — радиус вписанной окружности верхнего основания.

Пример: Для четырехугольной усеченной пирамиды (n=4) со сторонами a₁ = 10 м, a₂ = 6 м и высотой h = 4 м. Сначала найдем r₁ = 10 / (2 × tan45°) = 10 / 2 = 5 м, r₂ = 6 / (2 × 1) = 3 м. Тогда L = √(4² + (5 − 3)²) = √(16 + 4) = √20 ≈ 4.47 м.

6. Нахождение высоты через апофему и стороны

h = √(L² − (r₁ − r₂)²)

Эта формула получается из предыдущей и позволяет найти высоту, если известны апофема и размеры оснований.

Пример: Для треугольной усеченной пирамиды (n=3) со сторонами a₁ = 12 см, a₂ = 8 см и апофемой L = 15 см. tan60° ≈ 1.732. r₁ = 12 / (2 × 1.732) = 12 / 3.464 ≈ 3.46 см, r₂ = 8 / (2 × 1.732) = 8 / 3.464 ≈ 2.31 см. Разность r₁ − r₂ = 1.15 см. Тогда h = √(15² − 1.15²) = √(225 − 1.32) = √223.68 ≈ 14.96 см.

7. Обратный расчет: нахождение стороны основания по площади

Если известна площадь основания S и количество сторон n, сторону можно найти по формуле:

a = √((4 × S × tan(π / n)) / n)

Пример: Для квадратной усеченной пирамиды (n=4) нижнее основание имеет площадь S₁ = 144 м². tan45° = 1. Тогда a₁ = √((4 × 144 × 1) / 4) = √(576 / 4) = √144 = 12 м.

Единицы измерения

Все линейные размеры (стороны оснований, высота, апофема) должны быть заданы в одинаковых единицах длины (метры, сантиметры и т.д.). Площади при этом получаются в квадратных единицах, а объем — в кубических.