Задачи математической статистики: 4 подробных примера с решениями

Математическая статистика — это раздел математики, который занимается сбором, анализом и интерпретацией данных. Задачи математической статистики окружают нас повсюду: от опросов общественного мнения до контроля качества продукции. В этой статье мы разберём основные типы задач математической статистики на конкретных примерах: от вычисления среднего и дисперсии до построения доверительных интервалов и проверки гипотез. Все решения даны пошагово и с подробными формулами.

Пример 1. Среднее выборки и дисперсия

Задача: Имеются данные о росте 5 студентов в группе (в см): 170, 165, 180, 175, 160. Найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Решение:

1. Среднее выборки (выборочная средняя). Среднее выборки находится как сумма всех значений, делённая на количество наблюдений. Это одна из самых базовых задач математической статистики.

   

2. Выборочная дисперсия s². Дисперсия показывает разброс значений относительно среднего. Формула:

   

   Для каждого значения вычислим отклонение от среднего и возведём в квадрат:

   (170−170)² = 0, (165−170)² = 25, (180−170)² = 100, (175−170)² = 25, (160−170)² = 100

   Сумма квадратов отклонений: 0 + 25 + 100 + 25 + 100 = 250

   Подставляем в формулу для дисперсии:

   

Ответ: Среднее выборки — 170 см, дисперсия — 62,5 см².

Пример 2. Доверительный интервал для среднего

Задача: Средний рост 25 студентов равен 175 см, а выборочная дисперсия — 100 см². Найти 95%-й доверительный интервал для истинного среднего роста студентов, если распределение ростов нормальное.

Решение:

1. Формула доверительного интервала. Для нормального распределения с известной дисперсией интервал рассчитывается так:

   

   где:

   • x̄ — выборочное среднее,
   • z(α/2) — квантиль нормального распределения (для 95% интервала z = 1,96),
   • σ = √s² = √100 = 10 — стандартное отклонение,
   • n = 25 — размер выборки.

   Такие задачи математической статистики часто встречаются при обработке результатов экспериментов.

2. Подстановка значений:

   

   Получаем доверительный интервал:

   

Ответ: 95%-й доверительный интервал для среднего роста студентов — [171,08; 178,92] см.

Пример 3. Проверка статистической гипотезы (z-критерий)

Задача: Заявлено, что средний вес мужчин в городе составляет 80 кг. Проведено исследование, в котором участвовало 36 мужчин. Средний вес по выборке составил 82 кг с дисперсией 25 кг². Проверить гипотезу H₀: «средний вес равен 80 кг» против альтернативы H₁: «средний вес больше 80 кг» на уровне значимости α = 0,05.

Решение:

1. Формулировка гипотез:
   H₀: μ = 80 кг
   H₁: μ > 80 кг (правосторонняя альтернатива)

2. Использование z-критерия. Поскольку выборка достаточно большая (n = 36), используем z-критерий. Формула:

   

   где x̄ = 82, μ₀ = 80, σ = √25 = 5, n = 36.

   

   Получили z = 2,4.

3. Критическое значение. Для α = 0,05 (правосторонняя альтернатива) z_крит = 1,645.

4. Сравнение: 2,4 > 1,645 → попадает в критическую область. Отвергаем H₀.

Ответ: На уровне значимости 0,05 мы отвергаем гипотезу о том, что средний вес равен 80 кг. Данные свидетельствуют, что средний вес мужчин в городе больше 80 кг. Это классический пример того, как задачи математической статистики помогают принимать обоснованные решения на основе выборочных данных.

Пример 4. Критерий согласия Пирсона (хи-квадрат)

Задача: Предприятие выпускает детали трёх сортов. Теоретическое распределение: 1-й сорт — 50%, 2-й — 30%, 3-й — 20%. Проверено 200 деталей. Результат: 1-го сорта — 90 деталей, 2-го — 60, 3-го — 50. Проверить гипотезу о соответствии фактического распределения теоретическому на уровне значимости α = 0,05.

Решение:

1. Гипотезы:
   H₀: фактическое распределение соответствует теоретическому.
   H₁: распределения не соответствуют.

2. Критерий хи-квадрат (χ²). Формула:

   

   где nᵢ — наблюдаемые частоты, eᵢ — ожидаемые частоты.

3. Ожидаемые частоты (для выборки 200 деталей):
   e₁ = 200 × 0,5 = 100
   e₂ = 200 × 0,3 = 60
   e₃ = 200 × 0,2 = 40

4. Расчёт χ²:

   

   χ² = (90–100)²/100 + (60–60)²/60 + (50–40)²/40 = 100/100 + 0 + 100/40 = 1 + 0 + 2,5 = 3,5

5. Критическое значение: Для α = 0,05 и числа степеней свободы df = 3–1 = 2, χ²_крит = 5,991 (по таблице).

6. Сравнение: 3,5 < 5,991 → нет оснований отвергать H₀.

Ответ: На уровне значимости 0,05 гипотеза о соответствии распределения сортов теоретическому не отвергается. Отличие наблюдаемых данных от ожидаемых статистически незначимо. Такие задачи математической статистики часто применяются в социологии, маркетинге и контроле качества продукции.

Таблица основных формул для решения задач математической статистики

Для удобства запомните эти ключевые формулы:

• Среднее выборки: x̄ = (Σ xᵢ) / n
• Дисперсия (выборочная): s² = Σ (xᵢ – x̄)² / (n–1)
• Доверительный интервал для среднего: x̄ ± z(α/2) · σ/√n
• z-критерий для проверки гипотез: z = (x̄ – μ₀) / (σ/√n)
• Критерий хи-квадрат Пирсона: χ² = Σ (nᵢ – eᵢ)² / eᵢ

Заключение

Мы разобрали 4 ключевых типа задач математической статистики: вычисление среднего и дисперсии, построение доверительного интервала, проверку гипотез с помощью z-критерия и критерий согласия Пирсона. Эти методы широко применяются в науке, бизнесе, медицине и социологии. Чтобы уверенно решать задачи математической статистики, важно понимать не только формулы, но и логику каждого этапа. Практикуйтесь на разных примерах — и статистика перестанет быть сложной!