Свойства четырехугольника описанного около окружности — это важная тема геометрии, которая часто встречается в школьной программе, на экзаменах (ОГЭ, ЕГЭ) и в олимпиадных задачах. Четырехугольник, около которого можно описать окружность (то есть в который можно вписать окружность), называется описанным. В этом материале мы подробно разберем, какие свойства четырехугольника описанного около окружности существуют, как их применять при решении задач, а также рассмотрим характерные признаки и формулы. Понимание этой темы поможет вам легко справляться с геометрическими задачами любого уровня сложности.
Что значит «четырехугольник, описанный около окружности»?
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, в который можно вписать окружность. То есть существует окружность, касающаяся всех четырех его сторон. Такая окружность называется вписанной. Важно различать: «описанный около окружности» означает, что окружность находится внутри фигуры и касается каждой стороны. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис всех углов четырехугольника.
Не каждый четырехугольник можно описать около окружности. Существует четкое условие, которое и является главным свойством четырехугольника описанного около окружности.
Главное свойство: равенство сумм противоположных сторон
Ключевое свойство четырехугольника описанного около окружности звучит так: суммы длин противоположных сторон равны. Иными словами, если четырехугольник ABCD описан около окружности, то:
AB + CD = BC + AD
Это условие является не только необходимым, но и достаточным: если в выпуклом четырехугольнике суммы противоположных сторон равны, то в него можно вписать окружность. Это главный признак, который позволяет быстро определить, является ли четырехугольник описанным.
Пример 1: В четырехугольнике стороны равны 5, 7, 5, 7 (в порядке следования). Можно ли вписать в него окружность?
Решение: Проверяем суммы противоположных сторон: 5 + 5 = 10, 7 + 7 = 14. 10 ≠ 14, значит, окружность вписать нельзя. А если стороны расположены иначе: 5, 7, 5, 7 — но в другом порядке? Важно именно противоположные пары. Если стороны идут по порядку: a, b, c, d, то условие: a + c = b + d. Если стороны 5, 7, 5, 7, то 5+5 = 10, 7+7 = 14 — не равны. Но если стороны 5, 7, 7, 5, то 5+7 = 12 и 7+5 = 12 — условие выполнено. Порядок сторон имеет значение!
Пример 2: В четырехугольнике ABCD известно: AB = 6, BC = 8, CD = 10, AD = 4. Можно ли вписать окружность?
Решение: Проверяем: AB + CD = 6 + 10 = 16; BC + AD = 8 + 4 = 12. 16 ≠ 12, значит, окружность вписать нельзя. Это еще одно подтверждение того, что свойства четырехугольника описанного около окружности жестко определяют соотношение между сторонами.
Свойства касательных: равенство отрезков от вершин до точек касания
Если окружность вписана в четырехугольник, то отрезки касательных, проведенных из одной вершины к окружности, равны. Обозначим точки касания сторон с окружностью. Тогда:
- от вершины A до точек касания на сторонах AB и AD — равные отрезки;
- от вершины B — равные отрезки на сторонах AB и BC;
- от вершины C — равные отрезки на сторонах BC и CD;
- от вершины D — равные отрезки на сторонах CD и AD.
Обозначив эти отрезки как x, y, z, t (по часовой стрелке), получим, что стороны четырехугольника выражаются через суммы пар: AB = x + y, BC = y + z, CD = z + t, DA = t + x. И тогда AB + CD = (x + y) + (z + t) = x + y + z + t, а BC + AD = (y + z) + (t + x) = x + y + z + t. Отсюда и вытекает главное свойство четырехугольника описанного около окружности — равенство сумм противоположных сторон.
Центр вписанной окружности и биссектрисы
Центр окружности, вписанной в четырехугольник, лежит на пересечении биссектрис всех его углов. Это важное свойство четырехугольника описанного около окружности, которое помогает строить вписанную окружность и находить ее центр.
Пример 3: В описанном четырехугольнике два угла равны 80° и 100°. Найдите остальные углы, если известно, что они также связаны с биссектрисами.
Решение: Зная, что сумма углов четырехугольника 360°, легко найти остальные углы. Но здесь важно: в описанном четырехугольнике суммы противоположных углов не обязательно равны 180° (в отличие от вписанного). Это различие часто путают. Для описанного четырехугольника ключевое — стороны, а не углы.
Площадь описанного четырехугольника
Площадь любого описанного четырехугольника можно вычислить по формуле:
S = p · r
где p — полупериметр (p = (a + b + c + d)/2), а r — радиус вписанной окружности.
Это удобное свойство четырехугольника описанного около окружности, которое позволяет находить площадь, если известны стороны и радиус, или радиус, если известны площадь и стороны.
Пример 4: В описанный четырехугольник со сторонами 6, 8, 6, 8 вписана окружность радиуса 3. Найдите площадь четырехугольника.
Решение: Сначала проверим, что четырехугольник описанный: 6 + 6 = 12, 8 + 8 = 16 — не равны? Стоп. Порядок сторон должен быть таким, чтобы суммы противоположных были равны. Если стороны идут в порядке 6, 8, 6, 8, то 6+6=12, 8+8=16 — не равны, значит, четырехугольник не описанный. Если же порядок 6, 8, 8, 6, то 6+8=14, 8+6=14 — условие выполнено. Полупериметр p = (6+8+8+6)/2 = 14. Площадь S = p·r = 14·3 = 42. Ответ: 42.
Частные случаи описанных четырехугольников
Некоторые четырехугольники всегда являются описанными (при определенных условиях):
- Квадрат — всегда описанный. В него можно вписать окружность.
- Ромб — всегда описанный. В любой ромб можно вписать окружность, так как суммы противоположных сторон равны (все стороны равны). Центр вписанной окружности — точка пересечения диагоналей.
- Дельтоид (симметричный четырехугольник с двумя парами равных смежных сторон) — описанный тогда и только тогда, когда суммы противоположных сторон равны, что часто выполняется автоматически для некоторых видов.
- Прямоугольник — описанный только тогда, когда он является квадратом. В прямоугольник с разными сторонами окружность вписать нельзя.
Знание этих частных случаев помогает быстрее применять свойства четырехугольника описанного около окружности при решении геометрических задач.
Признаки описанного четырехугольника
Чтобы определить, можно ли вписать окружность в четырехугольник, используют следующие признаки:
- По сторонам: суммы противоположных сторон равны (a + c = b + d).
- По углам: биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке (это и есть центр вписанной окружности).
- По отрезкам касательных: если из каждой вершины к окружности проведены касательные, то отрезки от вершин до точек касания равны.
Эти признаки тесно связаны с свойствами четырехугольника описанного около окружности и помогают быстро проводить доказательства.
Примеры решения задач на описанный четырехугольник
Пример 5 (комбинированный). В описанном четырехугольнике ABCD стороны AB = 5, BC = 7, CD = 9. Найдите сторону AD.
Решение: По свойству описанного четырехугольника: AB + CD = BC + AD. Подставляем: 5 + 9 = 7 + AD → 14 = 7 + AD → AD = 7. Ответ: 7.
Пример 6. В описанный четырехугольник вписана окружность радиуса 4. Периметр четырехугольника равен 40. Найдите площадь.
Решение: Полупериметр p = 40/2 = 20. Площадь S = p·r = 20·4 = 80. Ответ: 80.
Пример 7. Докажите, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы противоположных сторон равны.
Решение: Обозначим отрезки от вершин до точек касания как x, y, z, t. Тогда стороны: AB = x + y, BC = y + z, CD = z + t, DA = t + x. Сумма AB + CD = x + y + z + t, сумма BC + AD = y + z + t + x = x + y + z + t. Равенство доказано.
Связь между вписанным и описанным четырехугольниками
Важно не путать свойства четырехугольника описанного около окружности и свойства четырехугольника вписанного в окружность. Краткое сравнение:
- Вписанный: все вершины лежат на окружности. Главное свойство: сумма противоположных углов = 180°. Теорема Птолемея.
- Описанный: все стороны касаются окружности. Главное свойство: суммы противоположных сторон равны. Площадь = p·r.
Существуют четырехугольники, которые одновременно являются и вписанными, и описанными (например, квадрат). Такие фигуры называются бицентрическими.
Как запомнить свойства описанного четырехугольника
Для успешного применения свойств четырехугольника описанного около окружности на экзаменах и в задачах, запомните главное:
- Равенство сумм противоположных сторон — это условие существования вписанной окружности.
- Площадь через полупериметр и радиус: S = p·r.
- Центр вписанной окружности — пересечение биссектрис.
- Ромб и квадрат всегда описанные; прямоугольник — только квадрат.
Заключение
Мы подробно разобрали основные свойства четырехугольника описанного около окружности: от главного условия равенства сумм противоположных сторон до формул площади и связи с биссектрисами. Эти знания помогут вам уверенно решать геометрические задачи, готовиться к экзаменам и видеть красоту геометрических закономерностей. Практикуйтесь на примерах, и свойства четырехугольника описанного около окружности станут для вас надежным инструментом в мире математики.