Как решить систему уравнений

Решить систему уравнений — значит найти значения переменных, которые удовлетворяют всем уравнениям системы. Методы решения линейной системы уравнений могут варьироваться в зависимости от типа системы. Рассмотрим основные методы решения линейных систем уравнений: метод подстановки и метод сложения.

Например, нужно решить следующую систему уравнений с двумя переменными:

1. Метод подстановки

Суть метода: выражаем одну переменную через другую из одного уравнения, затем подставляем это выражение во второе уравнение.

Шаги:

1. Выразим одну переменную через другую из одного из уравнений. Возьмём второе уравнение и выразим x:

2. Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение:

3. Упростим уравнение и решим его:

Теперь, подставив найденное значение y=1 в выражение для $x$, находим x:

Таким образом, решение системы:

2. Метод сложения (или вычитания)

Суть метода: складываем или вычитаем уравнения, чтобы исключить одну переменную.

Шаги:

1. Преобразуем уравнения так, чтобы коэффициенты перед одной из переменных были противоположными. В нашем случае удобно работать с переменной y, так как в одном уравнении перед ней стоит $y$, а в другом — $-y$.
Если модули коэффициентов разные, то нужно умножить все составляющие одного из уравнений на (-1), чтобы  получить одинаковые коэффициенты.

2.Сложим оба уравнения:

Упрощаем:

Решаем уравнение для x:

Теперь подставим значение $x=2$ в любое исходное уравнение. Возьмём второе уравнение:

Решаем для $y$:

Таким образом, решение системы:

Для тренировки скачайте программу «Системы уравнений» с выбором уровня сложности:
1) система двух линейных уравнений;
2) система линейного и квадратного уравнений.
С ответами. Для печати А4.

Итог:

• Метод подстановки: выразили одну переменную через другую и подставили в другое уравнение.
• Метод сложения: сложили (или вычли) уравнения так, чтобы исключить одну переменную, и нашли другую.